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Abitur 2004, Analytische Geometrie
In einem kartesischen Koordinatensystem des R³ sind die Punkte A(-2/5/-2),
B(1/2/-2), C(10/5/1)
sowie die Ebene E: x1
+ x2 - 4·x3
+ 7 = 0 gegeben .
1. a)
Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts D so, dass das Viereck
ABCD ein Parallelogramm ist, und berechnen Sie die Koordinaten des
Diagonalschnittpunkts M.
Legen Sie ein Koordinatensystem an (Querformat, Ursprung in Seitenmitte)
und tragen Sie das Parallelogramm ABCD sowie den Punkt M ein. [Zur
Kontrolle: M(4/5/-0,5)] |
b)
| Zeigen Sie, dass das Parallelogramm ABCD in einer Parallelebene
zur Ebene E liegt, die nicht mit E identisch ist. |
c)
| Die Parallelogrammfläche schneidet die x1x2-Ebene
in der Strecke [GH]. Berechnen Sie die Koodinaten der Punkte G und
H und tragen Sie die Strecke [GH] in die angelegte Zeichnung ein.
[Zur Kontrolle: (4/7/0) und (7/4/0)] |
d)
| In welchem Verhältnis wird die Fläche des Paralleloramms
durch die x1x2-Ebene
geteilt ? Begründen Sie ihre Antwort. |
2. a)
| S ist der Punkt in E, der vom Diagonalenschnittpunkt M den geringsten
Abstand hat. Berechnen Sie die Koordinaten von S und zeichnen Sie
die Pyramide ABCDS in Ihre zeichnung ein. [Zur Kontrolle: S(3/4/3,5)] |
b)
| Berechnen Sie das Volumen der Pyramide ABCDS. |
3.
| S' sei der Spiegelpunkt von S bezüglich der Ebene, in der
das Parallelogramm ABCD liegt. |
a)
| Berechnen Sie die Koordinaten von S' und tragen Sie S' in die
Zeichnung ein. |
In S' sei eine punktförmige Lichtquelle
angebracht. Die Parallelogrammfläche sei lichtundurchlässig.
Die Lichtquelle erzeugt von diesem Parallelogramm
in der Ebene E das Schattenbild A'B'C'D'.
b)
Berechnen Sie die Koordinaten des Bildpunktes A' von A.
Tragen Sie ohne weitere Rechnung das Bildviereck A'B'C'D' in die
Zeichnung ein. |
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